Dani's Mathematiknotizen #4: Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

In diesem Artikel beweise ich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im \mathbb{R}^2.

Seien x =\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \, y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} beliebige Vektoren aus dem \mathbb{R}^2. Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist definiert als \langle x, y \rangle := x_1y_1 + x_2y_2.

Da ein Quadrat immer größer oder gleich 0 ist, gilt die folgende Ungleichung:

  \begin{equation*}  0 \le (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2.  \end{equation*}

Daraus folgt nach der ersten Binomischen Formel, dass

  \begin{equation*}2 (x_1 x_2) ( y_1 y_2) = 2 (x_1 y_2) (x_2 y_1) \le (x_1 y_2)^2 + (x_2 y_1 )^2 . \end{equation*}

Zu dieser Gleichung addieren wir auf beiden Seiten (x_1 y_1) ^2  + (x_2 y_2)^2 und erhalten:

  \begin{equation*}(x_1 y_1)^2 + 2(x_1 x_2 y_1 y_2) + (x_2 y_2)^2 \le (x_1 y_1)^2 +(x_1 y_2)^2 +(x_2 y_1 )^2 +(x_2 y_2)^2.  \end{equation*}

Nun klammern wir als nächstes beide Seiten aus:

  \begin{equation*}(x_1y_1 + x_2 y_2)^2 \le (x_1 ^2 + x_2 ^2) (y_1 ^2 + y_2 ^2). \end{equation*}

Der letzte Schritt ist einfach die Definition des Skalarproduktes anzuwenden.

Damit erhalten wir nun die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

  \begin{equation*}\langle x, y \rangle ^2 \le \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle. \end{equation*}

Über Danijar Dreger

Hallo, mein Name ist Danijar Dreger und ich bin 17 Jahre alt. Zurzeit lebe ich in Deutschland und besuche ein Gymnasium. Ich interessiere mich für viele Themen, aber insbesondere für Mathematik, Philosophie, Geschichte und Naturwissenschaften. Ich hoffe dir werden meine Artikel gefallen.
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