Dani’s Mathematiknotizen #4: Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

In diesem Artikel beweise ich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im \(\mathbb{R}^2\).

Seien \(x =\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \, y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) beliebige Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^2\). Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist definiert als \(\langle x, y \rangle := x_1y_1 + x_2y_2\).

Da ein Quadrat immer größer oder gleich 0 ist, gilt die folgende Ungleichung:

$$\begin{equation} 0 \le (x_1 y_2 – x_2 y_1)^2. \tag*{} \end{equation}$$

Daraus folgt nach der ersten Binomischen Formel, dass

$$\begin{equation}2 (x_1 x_2) ( y_1 y_2) = 2 (x_1 y_2) (x_2 y_1) \le (x_1 y_2)^2 + (x_2 y_1 )^2 . \tag*{}\end{equation}$$

Zu dieser Gleichung addieren wir auf beiden Seiten \((x_1 y_1) ^2 + (x_2 y_2)^2\) und erhalten:

$$\begin{equation}(x_1 y_1)^2 + 2(x_1 x_2 y_1 y_2) + (x_2 y_2)^2 \le (x_1 y_1)^2 +(x_1 y_2)^2 +(x_2 y_1 )^2 +(x_2 y_2)^2. \tag*{} \end{equation}$$

Nun klammern wir als nächstes beide Seiten aus:

$$\begin{equation}(x_1y_1 + x_2 y_2)^2 \le (x_1 ^2 + x_2 ^2) (y_1 ^2 + y_2 ^2). \tag*{}\end{equation}$$

Der letzte Schritt ist einfach die Definition des Skalarproduktes anzuwenden.

Damit erhalten wir nun die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

$$\begin{equation}\langle x, y \rangle ^2 \le \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle. \tag*{}\end{equation}$$

About Danijar Dreger

Hey, my name is Danijar Dreger and I am 17 years old. Currently, I am a high school student living in Germany. I really like Science, Mathematics, History, and Philosophy.
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