Dani’s Mathematiknotizen #3: Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

Heute beschäftigen wir uns mit der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion1) https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion (“e-Funktion”) $$ f(x) = e^x.$$

Diese Ableitung ist gleich dem abzuleitendem, also $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x $$ und demnach extrem interessant.

Die Exponentialfunktion hat unter anderem viele Anwendungen in Technik, Biologie, Physik, Chemie und Ökonomie.

Die e-Funktion leiten wir nun über die Ableitung des natürlichen Logarithmus ab, die $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln x = \frac{1}{x} $$ ist.

Zuerst zeigen wir, dass die Identität $$ \ln e^x = x $$ wahr ist. Wendet man ein Potenzgesetz an, dann kann man diese Gleichung zu $$ x \cdot \ln e = x $$ umschreiben. Nun kann man außerdem erkennen, dass $$ \ln e = 1 $$ ist, da $$ e^1 = e $$ gilt, deshalb ist die Identität wahr.

Infolgedessen differenzieren wir nun die bewiesene Identität und es resultiert $$ \frac{1}{e^x} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = 1. $$

Hieraus können wir schließen, dass die Ableitung der e-Funktion $$ e^x$$ sein muss, da ansonsten der Bruch $$ \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x }{e^x}$$ nicht 1 ergeben kann.

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About Danijar Dreger

Hey, my name is Danijar Dreger and I am 17 years old. Currently, I am a high school student living in Germany. I really like Science, Mathematics, History, and Philosophy.
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