Dani’s Mathematiknotizen #3: Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

Heute beschäftigen wir uns mit der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion1) https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion ("e-Funktion") $$ f(x) = e^x.$$

Diese Ableitung ist gleich dem abzuleitendem, also $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x $$ und demnach extrem interessant.

Die Exponentialfunktion hat unter anderem viele Anwendungen in Technik, Biologie, Physik, Chemie und Ökonomie.

Die e-Funktion leiten wir nun über die Ableitung des natürlichen Logarithmus ab, die $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln x = \frac{1}{x} $$ ist.

Zuerst zeigen wir, dass die Identität $$ \ln e^x = x $$ wahr ist. Wendet man ein Potenzgesetz an, dann kann man diese Gleichung zu $$ x \cdot \ln e = x $$ umschreiben. Nun kann man außerdem erkennen, dass $$ \ln e = 1 $$ ist, da $$ e^1 = e $$ gilt, deshalb ist die Identität wahr.

Infolgedessen differenzieren wir nun die bewiesene Identität und es resultiert $$ \frac{1}{x} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = 1. $$

Hieraus können wir schließen, dass die Ableitung der e-Funktion $$ e^x$$ sein muss, da ansonsten der Bruch $$ \frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x }{e^x}$$ nicht 1 ergeben kann.

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Über Danijar Dreger

Hallo, mein Name ist Danijar Dreger und ich bin 17 Jahre alt. Zurzeit lebe ich in Deutschland und besuche ein Gymnasium. Ich interessiere mich für viele Themen, aber insbesondere für Mathematik, Philosophie, Geschichte und Naturwissenschaften. Ich hoffe dir werden meine Artikel gefallen.
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