Dani’s Mathematiknotizen #2: Implizite Differentiation

Die implizite Differentiation ist eine gute Technik eine Funktion zu differenzieren, die man nur schwierig oder gar nicht auf die Form f(x) = … umformen kann und die eine implizite Funktion der Form \[F(x;y)= 0\] ist.

Ein Beispiel dafür wäre, beispielsweise die Formel eines Kreises:1) https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Gleichungen

\[ x^2 +y^2 = r^2. \]

Bei der impliziten Differentiation differenziert man die Gleichung nach x und behandelt y als eine Funktion der unabhängigen Variable x.

Zuerst bringen wir noch den Radius (“r”) zum Quadrat auf die linke Seite und fangen jetzt mit der Differentiation an:

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} y^2 – \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} r^2 = 0. \]

Das einzige, was hier beachtenswert ist die Ableitung von y^2, die man durch die Kettenregel erhält, da wie bereits schon erwähnt, y eine Funktion von x ist.

Demzufolge erhalten wir dieses Ergebnis \[ 2x + 2y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0, \] das wir noch auf \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \ldots \] isolieren müssen.

Nach ziemlich leichter Umstellung (subtrahiere -2x von beiden Seiten und dividiere daraufhin durch 2y) haben wir nun das Ergebnis:

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x}{y}.\]

Das Prinzip der impliziten Differentiation beruht demnach darauf, dass man die implizite Funktion differenziert und daraufhin \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \] isoliert.

Wenn wir jetzt die Steigung an einem Punkt ausrechnen wollen, dann setzten wir das dazugehörige Koordinatenpaar (x,y) in die Formel ein.

Zum Beispiel wollen wir die Steigung beim Punkt C (-0,6/0,8) haben, also die Steigung der grünen Tangenten:

Dafür setzen wir die Koordinaten in unsere herausgefundene Formel ein:

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{0,6}{0,8} = 0,75. \]

Demzufolge ist die Steigung der grünen Tangenten 0,75.

Diesmal war es wiederum ziemlich einfach, stimmt doch?

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About Danijar Dreger

Hey, my name is Danijar Dreger and I am 17 years old. Currently, I am a high school student living in Germany. I really like Science, Mathematics, History, and Philosophy.
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