Dani’s Mathematiknotizen #2: Implizite Differentiation

Die implizite Differentiation ist eine gute Technik eine Funktion zu differenzieren, die man nur schwierig oder gar nicht auf die Form f(x) = … umformen kann und die eine implizite Funktion der Form \[F(x;y)= 0\] ist.

Ein Beispiel dafür wäre, beispielsweise die Formel eines Kreises:1) https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Gleichungen

\[ x^2 +y^2 = r^2. \]

Bei der impliziten Differentiation differenziert man die Gleichung nach x und behandelt y als eine Funktion der unabhängigen Variable x.

Zuerst bringen wir noch den Radius ("r") zum Quadrat auf die linke Seite und fangen jetzt mit der Differentiation an:

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} y^2 – \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} r^2 = 0. \]

Das einzige, was hier beachtenswert ist die Ableitung von y^2, die man durch die Kettenregel erhält, da wie bereits schon erwähnt, y eine Funktion von x ist.

Demzufolge erhalten wir dieses Ergebnis \[ 2x + 2y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0, \] das wir noch auf \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \ldots \] isolieren müssen.

Nach ziemlich leichter Umstellung (subtrahiere -2x von beiden Seiten und dividiere daraufhin durch 2y) haben wir nun das Ergebnis:

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{x}{y}.\]

Das Prinzip der impliziten Differentiation beruht demnach darauf, dass man die implizite Funktion differenziert und daraufhin \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \] isoliert.

Wenn wir jetzt die Steigung an einem Punkt ausrechnen wollen, dann setzten wir das dazugehörige Koordinatenpaar (x,y) in die Formel ein.

Zum Beispiel wollen wir die Steigung beim Punkt C (-0,6/0,8) haben, also die Steigung der grünen Tangenten:

Dafür setzen wir die Koordinaten in unsere herausgefundene Formel ein:

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{0,6}{0,8} = 0,75. \]

Demzufolge ist die Steigung der grünen Tangenten 0,75.

Diesmal war es wiederum ziemlich einfach, stimmt doch?

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Über Danijar Dreger

Hallo, mein Name ist Danijar Dreger und ich bin 17 Jahre alt. Zurzeit lebe ich in Deutschland und besuche ein Gymnasium. Ich interessiere mich für viele Themen, aber insbesondere für Mathematik, Philosophie, Geschichte und Naturwissenschaften. Ich hoffe dir werden meine Artikel gefallen.
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