Dani’s Mathematiknotizen #1: Logarithmische Differentiation

In letzter Zeit kam mir die Idee, dass ich anfangen sollte Mathematiknotizen über bestimmte mathematische Themen zu veröffentlichen, da der Fields-Medalist Terence Tao1)https://de.wikipedia.org/wiki/Terence_Tao meinte, dass er dies auch machen würde, aber er natürlich für fortgeschrittene Themen, die einen professionellen Mathematiker interessieren würden.2)https://terrytao.wordpress.com/career-advice/write-down-what-youve-done/

Terence Tao – Fields Medaille (2006)

Dementsprechend fangen wir jetzt mit meiner ersten Notiz an. Sie handelt von der logarithmischen Differentiation.

Der Sinn der logarithmischen Ableitung ist es Funktionen vom Typ \[ f(x) = [g(x)]^{h(x)}\] zu differenzieren.

Ein Beispiel wäre \[f(x) = x^x,\]dessen Ableitung \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^x \cdot (\ln (x) + 1)\] ist.

Das Prinzip dahinter ist es die Gleichung \[ f(x) = x^x \] mit dem natürlichen Logarithmus zu logarithmieren.

Dadurch haben wir \[ \ln [f(x)] = \ln x^x, \]

womit wir arbeiten können.

Auf die rechte Seite der Gleichung kann man nun ein Logarithmusgesetz3) https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Logarithmengesetze anwenden, nämlich \[ \ln x^n = n \cdot \ln x, \, n\in\mathbb{R}. \]

Demzufolge können wir unsere obere Gleichung zu \[ \ln [f(x)] = x \cdot \ln x \] umschreiben.

Jetzt werden wir die beiden Seiten der Gleichung differenzieren.

Bei der linken Seite wenden wir die Kettenregel an und bei der rechten die Produktregel.4) https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitungsregeln

Das Ergebnis hiervon ist:

\[ \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = 1\cdot \ln (x) +x\cdot \frac{1}{x}= \ln (x) + 1. \]

Der letzte Schritt ist die Gleichung mit y zu multiplizieren und damit haben wir nun unsere Ableitung:

\[ f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^x \cdot (\ln x + 1). \]

Die logarithmische Differentiation kann man also anwenden, wenn man mit der Funktion \[ f(x) = [g(x)]^{h(x)},\] konfrontiert ist, wobei g(x) und f(x) positiv sind. Daraufhin differenziert man beide Seiten und isoliert danach die erste Ableitung f'(x).

Das war’s schon und es war ziemlich einfach, nicht wahr?

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Über Danijar Dreger

Hallo, mein Name ist Danijar Dreger und ich bin 17 Jahre alt. Zurzeit lebe ich in Deutschland und besuche ein Gymnasium. Ich interessiere mich für viele Themen, aber insbesondere für Mathematik, Philosophie, Geschichte und Naturwissenschaften. Ich hoffe dir werden meine Artikel gefallen.
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